Det hevdes gjerne at differensialregningen ble oppfunnet på annen halvdel av 1600-tallet av Leibniz og Newton – og at det foregikk en bitter strid om hvem som hadde oppdaget den først (i dag er man vel stort sett enige om at de utviklet den uavhengig av hverandre). Men de grunnleggende prinsippene bak denne matematikken var kjent før Newton og Leibniz, og disse prinsippene var gjenstand for minst like intense og bitre stridigheter. Dette dokumenterer Amir Alexander i en usedvanlig velskrevet og underholdende bok om emnet.
Striden stod om det Bonaventura Cavalieri (1598–1647) på 1620-tallet kalte «indivisibler» (udeleligheter), og som deretter derfor fikk dette navnet. I sin enkleste form går antagelsen av indivisibler ut på at enhver linje består av en streng av uendelig små punkter (og tilsvarende at en todimensjonal geometrisk figur består av uendelig tynne linjer eller at et tredimensjonalt legeme består av uendelig tynne plater). Dette var noe allerede Arkimedes (ca. 287–212 f.v.t.) hadde holdt på med: For å beregne arealet og volumet av kuler og sylindere «kuttet» han dem opp i et uendelig antall parallelle flater og summerte dem opp. Dette til tross for at han utmerket godt kjente til de uoverstigelige paradoksene man havnet i når man opererte med slike uendelig små størrelser. For sett at et linjestykke består av ørsmå punkter. Hvis man antar at det er et endelig antall av dem, så må de ha en bestemt størrelse – og enhver størrelse kan deles i to (hvilket motsier antagelsen om et endelig antall punkter). Hvis man derimot antar at antall punkter er uendelig, kommer man også i problemer. Deres utstrekning kan jo ikke være lik null. For 0+0=0. Altså må deres utstrekning være større enn null. Men uansett hvor små punktene er, så vil de når de adderes tilstrekkelig mange ganger, overskride det linjestykket man startet med. Det var slike motsigelser for eksempel Zenon belyste gjennom mange av sine paradokser, for eksempel i historien om Akilles og skilpadden som skulle løpe om kapp. Siden Akilles kunne løpe dobbelt så fort som skilpadden, ga han den et forsprang. Da Akilles nådde fram til punktet der skilpadden startet, ville han ha halvert avstanden til skilpadden; men da hadde jo skilpadden allerede kommet seg et stykke videre (som ifølge Zenon tilsvarte halvparten av denne avstanden) – og slik ville det fortsette i det uendelige. Akilles ville nærme seg skilpadden (avstanden ville bli mindre og mindre), men han ville aldri nå den igjen (avstanden ville aldri bli 0). Men grekerne visste naturligvis at erfaringen motsa dette: Akilles ville løpe forbi skilpadden etter en stund. Med andre ord: Prosedyren med å dele opp avstander så mange ganger at de blir uendelig små, fører oss på villspor. Eller ta grekernes oppdagelse av (det vi i dag kaller) de irrasjonelle tallene. Et rasjonalt tall kan skrives som en brøk (grekerne snakket ikke om brøker men om forhold), det vil si at det finnes en enhet som gjør teller og nevner sammenlignbare: 4/5 betyr at det finnes en enhet som det er fire av i telleren og fem av i nevneren. For eksempel vil et linjestykke med lengde 4 bestå av fire linjestykker med lengde 1, og tilsvarende vil et linjestykke med lengde 5 bestå av fem slike linjestykker – forholdet mellom dem er altså 4/5 (for grekerne var slike linjestykker derfor kommensurable). Men tar vi for oss diagonalen i et kvadrat med side 1, så vil man ikke kunne finne noen felles enhet mellom den og kvadratets sider (i moderne termer har den størrelsen √2)Det vil si at uansett hvor små linjestykker man deler opp kvadratsiden i, så vil de aldri bli små nok til at man kan bruke dem som en enhet til å «fylle opp» diagonalen med. Altså kan et linjestykke ikke bestå av et sett av minste enheter – for i så fall ville jo disse enhetene kunne brukes som enheter for å sammenligne kvadratsiden og diagonalen.
Blant annet på grunn av slike selvmotsigelser og paradokser ble forestillingen om indivisibler liggende brakk helt fram til 1500-tallet, hevder Alexander. Det matematiske idealet var geometrien, der man tok utgangspunkt i evidente aksiomer og kun foretok systematiske deduksjoner etter klare regler, slik at selvmotsigelser og paradokser ikke kunne oppstå. Denne matematikkforståelsen var gjerne koblet til forestillingen om at verden var preget av en rasjonell orden styrt av universelle matematiske regler. Ja, mer: Den var også ofte koblet til forestillingen om at samfunnet måtte organiseres etter rasjonelle prinsipper, basert på stabilitet, orden og klare hierarkier. På 1500-tallet og framover tok imidlertid en rekke matematikere til orde for å regne med «indivisibler», blant andre Simon Steven i Holland (1548–1620), Thomas Harriot (1560–1621) i England og Galileo Galilei (1564–1642), Bonaventura Cavalieri (1598–1647), Evangilista Torricelli (1608–1647) og Stefano degli Angeli (1623–1697) i Italia. For dem som framhevet viktigheten av sosial orden og nedarvede hierarkier, ble disse folkene betraktet som opprørere. De tok ikke bare feil av linjers og arealers natur, de undergravde hele den orden som samfunnet måtte bygge på. Alexander tar særlig for seg to innbitte motstandere av infinitesimalregningen (indvisiblene).
Den ene var jesuittordenen (stiftet i 1539 av Ignatius Loyola). På begynnelsen av 1600-tallet utgjorde den en ledende kraft innenfor den katolske kirke og gikk helhjertet inn for å opprettholde og styrke den pavelige autoriteten. Deres øverste kontrollorgan i Roma (opprettet i 1601) tok i den forbindelse løpende stilling i vitenskapelige spørsmål, så også med hensyn til indivisiblene. Fra 1606 og en rekke ganger i årene som fulgte, tok kontrollorganet stilling til ulike varianter av spørsmålet, og dommen var alltid entydig og klar: Forestillingen om at en linje bestod av uendelig små atomer brøt ikke bare med Aristoteles’ lære (som den katolske kirke la til grunn), men var også usannsynlig og farlig. Det ble derfor forbudt for alle jesuitter å hevde at det fantes uendelig små enheter, ikke minst i alle de jesuittskolene som det etter hvert var blitt så mange av i katolske land (og som så mange av elitens fremste menn ble sendt til). Men jesuittene nøyde seg ikke med dette. De mobiliserte også sine egne matematikere. Riktignok stod matematikken opprinnelig ikke så høyt i det jesuittiske kunnskapshierarkiet: Øverst stod teologien (særlig Thomas Aquinas), dernest kom filosofien (framfor alt Aristoteles), og etter dem kom matematikk og språk som hjelpedisipliner. Men sentrale jesuittiske matematikere –som Christopher Clavius (1538–1612), Paul Guldin (1577–1643), Mario Bettini (1584–1657) og André Tacquet (1612–1660) klarte å heve matematikkens status – ikke minst gjennom innføringen av den gregorianske kalenderen, som var basert på kompliserte matematiske beregninger. Her viste matematikken hva den var god for: Da paven i 1582 erklærte at man skulle benytte den gregorianske kalenderen, fulgte det meste av Europa sakte, men sikkert etter. Med en ubestridelig matematikk i hånd skapte paven orden og system i en urolig verden. På slutten av 1500-tallet ble Euklids Elementer undervist på jesuittskolene, og det ble opprettet et eget matematisk akademi i Roma, med Clavius i spissen. Den bærende tanke innenfor jesuittordenene – og den katolske kirke – var at religionens sannheter ideelt sett burde styre verden med samme autoritet og sikkerhet som geometriske teoremer bevises innenfor geometrien, uten plass for avvik og protester fra alskens kjettere og protestanter. Bakgrunnen for fordømmelsen av indivisiblene var nettopp at reformatorer som Luther og Calvin hadde skapt uro, splittelse og kaos, og derfor gjaldt det mer enn noen gang å skape orden under den pavelige autoriteten. Når «opprørske» matematikere begynte å operere med indivisibler, truet de denne autoriteten: De benyttet nemlig en nedenfra-og-opp-prosedyre, hevder Alexander, der de tok utgangspunkt i konkrete, materielle linjer, arealer og volumer og tenkte seg at de besto av henholdsvis punkter, linjer og plater. Dette omdannet de så til en anvendbar, matematisk metode. Tilhengerne av indivisibler startet ikke med noe evident og allmenngyldig, men med noe materielt og partikulært. Gjennom en slik tilnærming var det mulig å beregne arealet av relativt kompliserte figurer og forklare hvorfor resultatet ble som det ble. Ikke minst var Torricellis beviser forbausende og oppsiktsvekkende (og Alexanders framstilling fikk meg til le høyt og lenge). Men noe slikt var naturligvis helt uakseptabelt i den euklidske geometrien, der man opererte med punkter og linjer uten utstrekning. Jesuittiske matematikere forsøkte da også å tilbakevise den på matematikkens egne premisser (ved å påpeke hvilke selvmotsigelser den førte til). Men framfor alt var en slik matematikk utålelig for en organisasjon som var basert på den deduktive tenkningens hierarkiske strukturer. Den måtte derfor forbys. På denne måten ble det i Italia lagt lokk på tenkningen omkring indivisibler i tiden som fulgte. Fra å ha vært et foregangsland for denne matematikken på begynnelsen av 1600-tallet klarte den katolske kirken, med jesuittene i spissen, å kvele den slik at Italia etter hvert kom i en bakevje på naturvitenskapenes område.
Den andre motstanderen Alexander tar for seg, er Hobbes og hans tilhengere. Hobbes var i utgangspunktet ingen matematiker. Men som huslærer for William Cavendishs sønn ble han del av en intellektuell elite, inkludert en rekke matematikere (han traff blant annet Descartes, Roberval, Fermat og Cavalieri). Hobbes begynte etter hvert også selv å studere matematikk og gikk for å være en framtredende matematiker. Mest kjent er han naturligvis for sin politiske filosofi, slik den kom til uttrykk i boken Leviathan fra 1651. Bakgrunnen for Hobbes’ politiske filosofi var den engelske borgerkrigen i England, som endte med at kong Karl 1 ble henrettet (1649), Cromwell kom til makten og kongens sønn flyktet til Belgia. Hans tese var som kjent at man for å demme opp for kaos, uroligheter og opprør måtte etablere en enevoldshersker (Leviathan) med uinnskrenket makt som kunne holde ro og orden. Menneskene var drevet av egoistiske behov for mat, sex og nytelser, slik at naturtilstanden var preget av en alles kamp mot alle. Deres maktbegjær måtte derfor holdes i tømme gjennom en sterk hersker som kunne styre deres atferd gjennom frykt for straff. Hele samfunnet måtte styres ovenfra, ingen individer eller institusjoner (som kirken eller universitetet) kunne ha noen form for autonomi. Alt og alle måtte på et vis innlemmes i herskerens kropp og adlyde hans ordre. Makt var rett. Denne filosofien var nettopp tuftet på geometrien som modell: Det gjaldt å etablere en «sann» politisk filosofi som var bygget på innlysende aksiomer (som menneskets egeninteresse) og strengt logiske slutningsfølger. Selv om Hobbes naturligvis bare hadde forakt overfor jesuittene (deres lojalitet var knyttet til paven, ikke herskeren), kunne de her møtes i et felles anliggende: Fred kunne bare skapes ovenfra gjennom en modell som var like sikker og utvilsom som geometrien. Avvik og opposisjon måtte unngås og straffes hardt. Euklids geometri og en hierarkisk, autoritær politisk filosofi hørte sammen. Ja, ifølge Alexander gikk Hobbes her lenger enn jesuittene, siden han ikke bare betraktet geometrien som ideal og modell, men systematisk og logisk forsøkte å avlede sin filosofi direkte fra sine geometriske prinsipper.
Men også geometrien slet med problemer. De tre mest berømte var sirkelens kvadratur (å konstruere et kvadrat med samme areal som en gitt sirkel), tredelingen av vinkelen (å dele en gitt vinkel i tre like store deler) og fordoblingen av en terning (å konstruere en terning med dobbelt så stort volum som en gitt terning) – med passer og linjal. Og for at geometrien skulle være uten hull og uløste problemer, satte Hobbes seg fore å løse disse oppgavene, framfor alt sirkelens kvadratur. Det skulle ifølge Alexander bli hans bane. Ved hjelp av sin egen spesielle matematikk (det fantes ikke noe annet i verden enn materie i bevegelse, og derfor var punkter, linjer og legemer alltid materielle – en linje var for eksempel definert ved den bane et materielt punkt fulgte i rommet), mente han gang på gang å ha bevist sirkelens kvadratur. Og hans bitreste fiende, geometriprofessor i Oxford, John Wallis, plukket – med stor skadefryd – hans bevis fra hverandre hver gang. Kontroversen mellom Hobbes og Wallis varte et kvart århundre, og i sentrum av den stod nettopp indivisiblene.
Ifølge Wallis stammet all erfaring fra sansene og all kunnskap måtte etableres eksperimentelt. For ham var matematikk først og fremst en praktisk affære, en virksomhet som var nyttig i praktiske sammenhenger, som handel eller navigasjon. Det vesentlige var om den matematiske kunnskapen fungerte, ikke om den var logisk gyldig. Derfor var Bacons induksjonisme å foretrekke: Det var naturligvis logisk sett «ugyldig» å slutte fra noen til alle, men skulle man finne ut av hvordan verden var skrudd sammen, måtte man undersøke den empirisk og lage hypoteser ut fra dette, ikke tenke seg fram til hvordan verden måtte være ut fra matematiske beregninger. I sentrum for denne eksperimentelle, praktiske matematikken stod matematisk bruk av uendelig små størrelser (det var Wallis som først introduserte tegnet for uendelig (∞), og for å uttrykke bredden på de uendelig tynne linjene som utgjorde et areal, brukte han uttrykket 1/∞). For å regne ut arealer måtte han ofte postulere at formler som gjaldt for en rekke påvisbare tilfeller, også gjaldt generelt (det man i dag gjerne kaller for en conjec-ture). At han ikke kunne bevise at den gjaldt i alle tilfeller, var ingen hindring for å benytte den inntil videre. Denne pragmatiske holdning setter Alexander i forbindelse med den praksis som foregikk i Royal Society, som Wallis var med på å etablere i 1660. Her foretok man offentlige eksperimenter (med medlemmene og eventuelt ærverdige gjester til stede) og åpnet for uenigheter og diskusjon. Sannheten var ikke gitt på forhånd, men noe man kunne enes om inntil videre. Dette gjaldt også på det politiske området: Som Hobbes var Wallis og hans venner i Royal Society opptatt av at man trengte ro og orden i samfunnet, men veien dit var ikke en absolutistisk stat basert på en selvsikker dogmatisme, men snarere å åpne opp for ulike synpunkter (innenfor gitte rammer) slik at folk – ut fra en felles basis (uavhengig av religion) – kunne diskutere, være uenige og komme fram til foreløpig enighet. Hobbes’ rigide dogmatisme ville bare føre til uro og opprør; rasjonell debatt mellom fornuftige eiendomsbesittere ville derimot skape samarbeid og tillit, ro og konsensus.
Det var Wallis som vant, påpeker Alexander. Ikke først og fremst fordi Hobbes dummet seg ut med sine mange feilaktige bevis for sirkelens kvadratur (vi vet i dag at slike bevis er umulige, siden π er et transcendent tall), men fordi infinitesemalregningen rett og slett ble en av de mest grunnleggende grenene av matematikken etter at Newton og Leibniz hadde formalisert den på annen halvdel av 1600-tallet. Ved hjelp av denne matematikken kunne man ikke bare beregne planeters (og andre legemers) bevegelse, vibrerende strenger og væskebevegelser, men også utvikle felter som elektrodynamikk og termo-dynamikk. Infinitesimalregningen forandret verden.
Alexanders bok er en pedagogisk bragd. Ikke bare klarer han å føre novisen stødig inn i relativt komplisert matematisk farvann, men han bruker også mye tid på å kontekstualisere stridighetene: Gjennom konsise og informative fortellinger om jesuittenes historie på den ene side (både reformasjonen og motreformasjonen blir behørig behandlet) og engelsk politisk historie på den annen side, settes på et vis scenen for de to stridighetene i henholdsvis Italia og England. Riktignok kan Alexander ha en tendens til å polarisere frontene. Som han skriver: «På den ene side var forsvarerne av intellektuell frihet, vitenskapelig framskritt og politisk reform; på den andre siden, forkjemperne for autoritet, universell og uforanderlig kunnskap og et fastlagt politisk hierarki.» Virkeligheten er naturligvis aldri så svart-hvitt (noe Alexander for øvrig påpeker når han tar for seg matematikere som befinner seg i mellomposisjoner). Men som heuristisk virkemiddel og pedagogisk fortellerfigur fungerer dette naturligvis utmerket. Det kan neppe være tvil om at indivisiblene i stor grad befant seg på framtidens side. Ja, at infinitesimalregningen gikk seirende ut av striden, bidro ifølge Alexander til at verden ble «moderne»: Vi fikk en ny og dynamisk vitenskap, religiøs toleranse og politisk frihet. Matematikk, religion og politikk hørte nøye sammen.
